Mathématiques pour l'ingénieur I-a

But du cours

Ce cours a pour objectif de fournir aux étudiants les outils mathématiques fondamentaux nécessaires à la modélisation et à la résolution de problèmes en sciences de l’ingénieur. Il vise notamment à :

• maîtriser les notions de trigonométrie pour l’analyse géométrique des phénomènes ;

• comprendre et utiliser les matrices pour résoudre des systèmes linéaires et manipuler des transformations ;

• développer la capacité à représenter et manipuler des vecteurs dans le plan et dans l’espace ;

• acquérir les bases du calcul avec les nombres complexes, utiles pour l’étude de systèmes dynamiques et des signaux.

L’ensemble constitue une base indispensable pour les enseignements de physique, de mécanique, d’automatique et de modélisation numérique.

Acquis d'apprentissage visés

• Savoir représenter un système d’équations sous forme matricielle.

• Savoir définir un vecteur par rapport à une base choisie.

• Savoir réaliser un produit scalaire.

• Savoir réaliser un produit vectoriel.

• Savoir définir un nombre complexe.

• Savoir utiliser la notation complexe pour résoudre un problème physique.

• Savoir calculer le module et l’argument d’un nombre complexe.

• Savoir réaliser des opérations sur les nombres complexes.

• Savoir développer les formules : $\sin(a+b)$, $\sin(a-b)$, $\cos(a+b)$, $\cos(a-b)$.

Prérequis

Prérequis :

• Connaissances de base en algèbre (résolution d’équations, manipulation d’expressions littérales).

• Notions élémentaires de géométrie plane (repérage, vecteurs).

• Opérations sur les nombres réels : calculs usuels, puissances, racines, fractions.

• Connaissances de base en fonctions usuelles (linéaires, affines, polynômes simples, trigonométrie élémentaire).

Programme

Trigonométrie : révisions du cercle trigonométrique, des angles, du cosinus, du sinus, de la tangente, des expressions de cosinus et sinus d’angles associés, ainsi que des principales formules de trigonométrie.

Calcul matriciel : introduction aux matrices (définition, notation, types). Opérations fondamentales sur les matrices (transposée, addition, soustraction, multiplication par un scalaire). Produit matriciel (définition, propriétés et applications). Déterminant et matrice inverse (existence, calcul). Résolution de systèmes linéaires à l’aide de la formulation matricielle et de la méthode de l’inverse. Méthode des moindres carrés pour les systèmes surdéterminés.

Calcul vectoriel dans le plan et dans l’espace : définition et représentation d’un vecteur. Représentation dans une base orthonormée directe. Produit scalaire et projection orthogonale. Produit vectoriel (calcul et propriétés). Matrices de changement de base et de rotation. Fonctions vectorielles et champs de vecteurs. Vitesse et accélération dans une base mobile.

Nombres complexes : définition, notation et propriétés des nombres complexes. Opérations de base (addition, soustraction, multiplication, division). Matrices à coefficients complexes. Fonctions prenant des valeurs complexes. Formes trigonométrique et exponentielle. Exponentielle complexe et racines $n$-ièmes. Résolution d’équations du second degré dans l’ensemble des nombres complexes.

Modalités d'évaluation

Ecrit : 1.0h - Coefficient : 0.5 Ecrit : 1.0h - Coefficient : 0.5

Supports

Supports sur la plateforme moodle.