Math pour BE

But du cours

• Intégrales doubles : définition, théorème de Fubini, changement de variables, jacobien, coordonnées polaires ; applications : centre de masse, moment d’inertie, calcul d’aire, calcul du volume sous une nappe

• Intégrales triples : définition et applications, coordonnées cylindriques et sphériques, changement de variables avec le jacobien, applications pratiques

• Courbes et intégrales curvilignes : courbes et équations paramétriques, coordonnées polaires, définition et calcul des intégrales curvilignes, applications aux champs de vecteurs et au calcul de longueurs de courbes

• Théorèmes fondamentaux : théorème de Green–Riemann, théorèmes d’Ostrogradski et de Stokes, théorèmes du gradient et du rotationnel, calcul du flux d’un champ vectoriel

Acquis d'apprentissage visés

• Formuler et évaluer des intégrales doubles et triples en coordonnées cartésiennes

• Formuler et évaluer des intégrales curvilignes dans différentes configurations géométriques

• Effectuer un changement de variables dans les intégrales multiples (coordonnées polaires, cylindriques et sphériques)

• Appliquer les intégrales multiples à des problèmes de physique et d’ingénierie (calcul de volumes, de centres de masse, de moments d’inertie, etc.)

• Appliquer les intégrales curvilignes à des problèmes en physique (longueur de courbe, travail effectué par une force, flux de champs vectoriels, etc.)

• Utiliser le théorème de Green–Riemann et les autres théorèmes fondamentaux pour résoudre des problèmes physiques et géométriques

Prérequis

• Dérivation et intégration de fonctions à une variable

• Fonctions à plusieurs variables et dérivées partielles

• Calcul vectoriel

• Calcul du déterminant d’une matrice $3 \times 3$

Programme

1. Intégrales doubles et triples en coordonnées cartésiennes : définition, interprétation géométrique, calcul sur domaines simples.

1. Changements de variables dans les intégrales multiples : introduction aux coordonnées polaires, cylindriques et sphériques, applications pratiques.

1. Intégrales curvilignes : définition, orientation, calcul sur courbes paramétrées dans différents contextes géométriques.

1. Applications en physique et en ingénierie : calcul de volumes, centres de masse, moments d’inertie, travail d’une force, flux de champs.

1. Théorèmes fondamentaux : théorème de Green–Riemann et introduction à Stokes et Gauss pour la résolution de problèmes concrets.

Modalités d'évaluation

2 Ecrits (2h/2h)